设

一或三象限切点与原点连线斜率k1

二或四象限切点与原点连线斜率k2

(资料图)

有

k1＞0

k2=-b^4/(a^4k1)

即

S△AOB

=

b^4+a^4k1²

/

2√((b^4+a^4k1²)²/a²b²+(b²-a²）²k1²)

=

1

/

2√(1/a²b²+(b²-a²）²k1²/(b^4+a^4k1²)²)

=

1

/

2√(1/a²b²+(b²-a²）²/(b^4/k1+a^4k1)²)

即

S△AOB

≥

1

/

2√(1/a²b²+(b²-a²）²/(4a^4b^4))

=

1

/

2√((b²+a²）²/(4a^4b^4))

=

1

/

2(b²+a²）/(2a²b²)

=

a²b²/(a²+b²)

且

S△AOB

≤

1

/

2√(1/a²b²)

=

ab/2

即

a²b²/(a²+b²)≤S△AOB≤ab/2

得证

设

x²/((a²+b²)/a²)+y²/((a²+b²)/b²)=1

上点与原点连线长度d

有

S△APB

=

1/2·(d²-1)·2√(d²-1)/d²·ab

=

(d²-1)^(3/2)/d²·ab

设

t=d²-1

有

S△APB=ab·t^(3/2)/(t+1)，b²/a²≤t≤a²/b²

即

S△APB

≥

ab

b³/a³

/

(a²+b²)/a²

=

b^4/(a²+b²)

且

S△APB

≤

ab

a³/b³

/

(a²+b²)/b²

=

a^4/(a²+b²)

即

b^4/(a²+b²)≤S△APB≤a^4/(a²+b²)

得证